Persamaan Lingkaran

1. Konsep Lingkaran

Sebelum baca, ingat tanda ^ artinya pangkat

Coba kalian perhatikan sepeda yang sering kita jumpai di sekitar kita. Berbentuk apakah permukaan dari roda sepeda itu? Demikian pula berbentuk apakah permukaan dari gir sepeda itu? Ternyata, bentuk permukaan roda sepeda itu berbentuk lingkaran, demikian juga bentuk permukaan gir sepeda juga berbentuk lingkaran. Tampak bahwa tempat kedudukan dari titik-titik yang berada pada tepi permukaan roda sepeda dan gir itu berjarak sama terhadap titik tertentu. Sekarang, pada topik ini kita mempelajari bidang datar yang berbentuk lingkaran.

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu merupakan pusat lingkaran dan jarak yang sama sebagai jari-jari lingkaran.

2. Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran pusat (a,b) dan jari-jari r. Perhatikan gambar berikut ini!

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik pada lingkaran. Dalam segitiga AP'P siku-siku di titik P' dengan :

AP' = x−a, P'P = y−b, AP = r (jari-jari lingkaran) berlaku Teorema Pythagoras
(AP)^2= (AP')^2 + (P'P)^2⇔ r^2 = (x−a)^2 + (y−b)^2 ⇔ (x−a)^2 + (y−b)^2= r^2

Jadi,

Persamaan lingkaran pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Persamaan lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari r adalah x^2 + y^2 = r^2

Model soal :

Pusat lingkaran terletak pada titik tengah dari garis tengah (diameter) lingkaran. Panjang garis tengah (diameter) adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut. Garis singgung lingkaran memotong lingkaran pada satu titik.

Garis AP adalah jari-jari lingkaran. Garis g adalah garis singgung lingkaran. Titik P merupakan titik singgung. Garis AP tegak lurus dengan garis singgung. Panjang AP adalah jarak dari titik A ke garis g. Maka, Jarak dari titik (x1,y1) ke garis ax+by+c=0 adalah

Mari kita cermati beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh 1 :
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di titik O dan jari-jari 5 satuan.
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran pusat O(0,0) dan jari-jari r adalah x^2 + y^2 = 25

Contoh 2 :
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di titik A(2,−1) dan jari-jari 3 satuan.
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran dengan pusat di titik A(2,−1) dan jari-jari 3

Contoh 3 :
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran:
a. x^2 + y^2 = 49
b. (x−5)^2 + (y−2)^2 = 4

c. 3x^2 + 3y^2 = 48
Penyelesaian:
a. Persamaan lingkaran x^2 + y^2 = 49 sesuai persamaan x^2 + y^2 = r^2. Maka persamaan lingkaran tersebut memiliki pusat (0,0) dan jari-jari 7

b. Persamaan lingkaran (x−5)^2 + (y−2)^2 = 4 sesuai persamaan (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Maka persamaan lingkaran tersebut memiliki pusat (5, 2) dan jari-jari 2

c. Persamaan 3x^2 + 3y^2 = 48 ⇔ kedua ruas dibagi 3, sehingga persamaan menjadi x^2 + y^2 = 16 yang sesuai persamaan x^2 + y^2 = r^2. Maka persamaan lingkaran tersebut memiliki titik pusat di titik (0,0) dan jari-jari 4

Contoh 4 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(0,−3) dan melalui titik B(2,−1)
Penyelesaian:
Pusat lingkaran A(0,−3). Maka persamaan lingkaran x^2 + (y+3)^2 = r^2
Lingkaran tersebut melalui titik B(2,−1) berarti titik B(2,−1) terletak pada lingkaran x^2 + (y+3)^2 = r^2. Sehingga

Persamaan lingkaran tersebut adalah x^2 + (y+3)^2 = 8

Contoh 5:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan menyinggung garis 4x−3y−20=0
Penyelesaian:
Jari-jari lingkaran yaitu jarak dari titik O(0,0) ke garis 4x−3y−20=0
Sesuai persamaan

Maka nilai r adalah

Sehingga, Persamaan lingkaran tersebut adalah x^2 + y^2 = 16

3. Persamaan Umum Lingkaran

Setelah mempelajari materi sebelumnya mengenai persamaan lingkaran, tentunya kalian telah memahami bahwa persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r mempunyai persamaan baku (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. Bentuk ini mudah digunakan untuk melihat pusat dan jari-jari suatu lingkaran. Akan tetapi, tahukah kalian bahwa ada bentuk persamaan lain yang sering digunakan untuk menyatakan sebuah lingkaran? Bentuk ini berasal dari penjabaran bentuk baku.

Untuk lebih jelasnya, marilah kita jabarkan bentuk baku berikut!

maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran:

Perlu diingat bahwa tidak semua bentuk umum x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 merepresentasikan sebuah lingkaran. Jika bentuk umum lingkaran diubah ke bentuk baku maka bentuknya menjadi:

Pada persamaan dengan bentuk baku ini memiliki tiga kemungkinan.

Jadi dari penjelasan di atas, dapat kita disimpulkan bahwa bentuk umum lingkaran x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 dapat merepresentasikan tiga kemungkinan yaitu sebuah lingkaran, sebuah titik, atau sebuah lingkaran imajiner.

Perhatikan contoh soal berikut!
Contoh 1